《梦溪笔谈》中的隙积术
笔记提到的"有隙者如累累層壇及酒家積罌（酒坛）"，描述的是酒坛、棋子等物体堆积时存在的空隙问题。传统"刍童"（梯形棱台）体积公式（长×宽×高）无法精确计算此类离散堆积体的实际数量。沈括的突破：在"刍童体积公式"基础上增加修正项： 总数 = (上层长×上层宽 + 下层长×下层宽 + 上层长×下层宽 + 上层宽×下层长) × 高 / 6 + 高×(下宽 - 上宽)/6 文本中的"以高乘之，六而二"（高²/6）即修正项的关键部分。 通过"倍上長加入下長"等步骤，将连续型转化为离散求和公式，解决阶坛、酒坛堆积等实际问题。
会圆术
首 创由弦长（a）和矢高（h）求弧长的近似公式，比欧洲同类方法早400余年。核心思想为以直代曲的实用化 沈括将圆弧分割为若干直线段，用勾股定理进行近似计算，体现了“局部线性化”思想。这种方法简化了复杂几何问题，使实际工程（如土地测量、天文历法）中的弧长计算成为可能。此方法当圆心角小于45°时，相对误差小于2%实用性极强。
不同于传统数学的抽象演绎，沈括强调从实际问题出发推导公式。例如，他通过调整“古法”（中破圆法）的误差，提出更精确的解决方案，反映了宋代科学注重实证的特点。沈括的“以简驭繁”思想（如简化复杂几何问题）启发了后世数学家，成为中国古代数学从算法向理论模型过渡的标志性成果。元代郭守敬在《授时历》中直接应用会圆术计算天体运动轨迹，标志着其从理论到实践的成功转化。
原文（节选）： “余别为拆会之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径。以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。” ——《梦溪笔谈》卷十八《技艺》
已知条件：圆田直径（D）、弧高（h，即矢高）。 步骤： 将直径的一半（半径r = D/2）作为直角三角形的斜边（弦）。 弧高h = 半径r - 股长（即r - h）。 通过勾股定理计算弦长（a = 2√(r² - (r - h)²)）。 弧长近似公式：弧长 ≈ a + (2h²)/D。
